Question

設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅為自然數(shù)，A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并滿足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中各元素之和為256，求集合A？

Answer 1

解：由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，所以只可能a₁=a₁²，即a₁=1．由a₁+a₄=10，得a₄=9．
且a₄=9=a_i²（2≤i≤3），∴a₂=3或a₃=3．…（2分）
①若a₃=3時，a₂=2，此時A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}．
因a₅²≠a₅，故1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，從而a₅²+a₅-156=0，解得a₅=12．
所以A={1，2，3，9，12}．…（5分）
②若a₂=3時，此時A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}．
因1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，從而a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0．
因為a₂＜a₃＜a₄，則3＜a₃＜9．當(dāng)a₃=5、6、7、8時，a₅無整數(shù)解．
當(dāng)a₃=4時，a₅=11．所以A={1，3，4，9，11}．…（8分）
綜合可得，A={1，2，3，9，12}，或A={1，3，4，9，11}．
分析：先由條件求出a₁=1，a₄=9，故有 a₂=3或a₃=3．①若a₃=3時，a₂=2，由A∪B中各元素之和為256，求出a₅=12，從而得到A．
②若a₂=3時，則3＜a₃＜9，由A∪B中各元素之和為256，只有當(dāng)a₃=4時，a₅=11，從而求得A，綜上可得結(jié)論．
點評：本題主要考查集合中參數(shù)的取值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．