Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在l上的射影為A₁．若|AB|=|A₁B|，則直線AB的斜率為（　�。�

• A． ±3
• B． ±2$\sqrt{2}$
• C． ±2
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A，B到準(zhǔn)線的距離分別為2a，a，由拋物線的定義可得|AB|=3a，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出直線AB的斜率．

解答 解：設(shè)A在第一象限，直線AB的傾斜角為α．
過B作準(zhǔn)線的垂線BB′，作AA′的垂線BC，
∵|AB|=|A₁B|，∴C是AA′的中點(diǎn)．
設(shè)|BB′|=a，則|AA′|=2a，∴|AB|=|AA′|+|BB′|=3a．
∴cosα=cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanα=2$\sqrt{2}$，
由拋物線的對稱性可知當(dāng)A在第四象限時，tanα=-2$\sqrt{2}$．
∴直線AB的斜率為±2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義，考查直線的斜率的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．