Question

（2013•嘉興二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求

a+b

c

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）所求式子利用正弦定理變形，將sinC的值代入，整理為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域求出范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式得：

a+c

b

=

a-b

a-c

，
化簡得a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=2sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則

a+b

c

的取值范圍是（1，2]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．