Question

過x軸正半軸上一點M作直線PQ與橢圓

x2

4

+y²=1相交于兩點P，Q，若

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，則點M的坐標為（　　）

• A、（

  1

  5

  ，0）
• B、（

  15

  15

  ，0）
• C、（

  2 15

  5

  ，0）
• D、（

  15

  5

  ，0）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)M（m，0），設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

x=m+tcosα y=tsinα

．P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．把直線PQ的方程代入橢圓的方程

x2

4

+y2=1，得到根與系數(shù)的關(guān)系，可得

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．由于

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，因此24-10m²=0，解出即可．

解答：解：設(shè)M（m，0），設(shè)直線PQ的方程為

x=m+tcosα y=tsinα

．
P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．．
把直線PQ的方程代入橢圓的方程

x2

4

+y2=1，
化為（1+3sin²α）t²+2mtcosα+m²-4=0．
∴t₁+t₂=

-2mcosα

1+3sin2α

，t1t2=

m2-4

1+3sin2α

．
∴

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t1t2=

2m2+8+(24-10m2)sin2α

(1+3sin2α)2

．
∴

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

t 2 1 + t 2 2

(t1t2)2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．

∵

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，
∴24-10m²=0，又m＞0．
解得m=

2 15

5

．
∴點M的坐標為(

2 15

5

，0)．
故選：C．

點評：本題考查了直線與橢圓相交定值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的參數(shù)方程及其參數(shù)的意義，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．