Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°，D為線段BC上一點，且2BD=CD，則AD=$\frac{\sqrt{37}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求BC的值，進而可求BD，利用余弦定理求得cos∠B，在△ABD中利用余弦定理即可解得AD的值．

解答 解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，D為線段BC上一點，且2BD=CD，
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠A}$=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴由余弦定理可得：cos∠B=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{4+7-9}{2×2×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∴在△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BD•cos∠B}$=$\sqrt{4+\frac{7}{9}-2×2×\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{7}}{14}}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{37}}{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．