Question

定義域在R上的奇函數(shù)f（x）
（1）若f（x）在[0，+∞）上增函數(shù)，求不等式f（2-x）+f（4-x²）＞0的解集；
（2）若x＞0時，f（x）=x-x²，求x＜0時，f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）首先滿足定義域得x≤2和-2≤x≤2；由遞增性得-3＜x＜2，取交集可得解集．
（2）x＜0，則-x＞0，因為x＞0時，f（x）=x-x²，所以f（-x）=-x-x²；由奇函數(shù)可得f（x）=-f（-x）=x²+x．

解答： （1）首先滿足定義域：2-x≥0，得x≤2；
4-x²≥0，得-2≤x≤2；
f（2-x）+f（4-x²）＞0即：f（2-x）＞-f（4-x²），
因為奇函數(shù)滿足f（-x）=-f（x），
所以-f（4-x²）=f（x²-4），所以f（2-x）＞f（x²-4），
由遞增性：2-x＞x²-4，即x²+x-6＜0，即（x+3）（x-2）＜0，得-3＜x＜2；
結合定義域得：-2≤x＜2
所以不等式f（2-x）+f（4-x2）＞0的解集為：-2≤x＜2
（2）令x＜0，則-x＞0，因為x＞0時，f（x）=x-x²，所以f（-x）=-x-x²；由奇函數(shù)：
f（x）=-f（-x）=x²+x
即x＜0時，f（x）=x²+x

點評：本題主要考察函數(shù)奇偶性的性質和應用，屬于中檔題．