Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

且f（1）=2．
（1）判斷f（x）在（1，+∞）上的增減性，并證明；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)f（1）=2求出m=1，然后求f′（x），判斷f′（x）在（1，+∞）上的符號，從而判斷出f（x）在（1，+∞）的增減性；
（2）求f（-x）即可判斷f（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）f（1）=1+m=2，∴m=1，∴f（x）=x+

1

x

；
f′（x）=1-

1

x2

=

1-x2

x2

；
∴x∈（1，+∞）時，1-x²＜0，f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）f（x）的定義域為{x|x≠0}；
f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）；
∴f（x）是奇函數(shù)．

點評：考查導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及奇偶函數(shù)的定義，及判斷方法．