Question

5．設(shè)關(guān)于x的不等式（x+2）（a-x）≥0（a∈R）的解集為M，不等式x²-2x-3≤0的解集為N，且M∩N=[-1，2]
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若在集合M∪N中任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，求“x∈M∩N”的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的解法先求出N，根據(jù)M∩N=[-1，2]，得到2是方程（x+2）（a-x）=0的根，進(jìn)行求解即可．
（2）求出集合M，以及M∪N，根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）由x²-2x-3≤0得（x+1）（x-3）≤0，得-1≤x≤3，即N=[-1，3]，
∵M(jìn)∩N=[-1，2]
∴2是方程（x+2）（a-x）=0的根，則4（a-2）=0，得a=2，
（2）當(dāng)a=2時(shí)，x+2）（a-x）≥0等價(jià)為x+2）（2-x）≥0得-2≤x≤2，即M=[-2，2]，
則M∪N=[-2，3]，
∵M(jìn)∩N=[-1，2]
∴在集合M∪N中任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，求“x∈M∩N”的概率P=$\frac{2-（-1）}{3-（-2）}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集是解決本題的關(guān)鍵．