【題目】已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點.

【解析】試題分析：（1）通過橢圓的幾何意義得到橢圓的方程；（2）先考慮直線的特殊情況，和軸垂直，和軸平行，通過這兩種情況得到最終結(jié)果再證明一般情況. 以線段為直徑的圓恒過點，轉(zhuǎn)化為，通過韋達定理解決即可。

（1）橢圓方程為.

（2）當與軸平行時，以線段為直徑的圓的方程為；

當與軸平行時，以線段為直徑的圓的方程為.

故若存在定點，則的坐標只可能為.

下面證明為所求：

若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明.

若直線的斜率存在，設(shè)直線， ，

由得，

，

，

，

.

∴，即以線段為直徑的圓恒過點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點，橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點，直線的斜率為為坐標原點．

(1)求的方程；

(2)設(shè)過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足，．

（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元．該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸．那么在一個生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某品牌手機廠商推出新款的旗艦機型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機上市時間(x個月)和市場占有率(y%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)：

x

1

2

3

4

5

y

0.02

0.05

0.1

0.15

0.18

(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機型市場占有率的變化趨勢，并預(yù)測自上市起經(jīng)過多少個月，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%(精確到月)．

附： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為 的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移 個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“g（x）≥ ”發(fā)生的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．

整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以為組距分成組：，，，，，，得到A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表：

B餐廳分數(shù)頻數(shù)分布表

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評分低于30的人數(shù)；

（Ⅱ）從對B餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；

（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點，點是橢圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡記為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過的直線交曲線于不同的，兩點,交軸于點，已知，，求的值.

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