Question

已知曲線C：y²-x²=2，將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到曲線C′．
（Ⅰ）求曲線C′的方程；
（Ⅱ）求曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣M，再推出任意一點(diǎn)在M的作用下后的點(diǎn)，代入即可求出曲線方程；
（Ⅱ）先求出曲線y²-x²=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后將焦點(diǎn)坐標(biāo)在旋轉(zhuǎn)變換矩陣的作用下后的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來即可．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M=

cos(-30°) -sin(-30°) sin(-30°) cos(-30°)

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

，
在曲線C：y²-x²=2上去一點(diǎn)P（x，y），在變換矩陣M的作用下，變化到P′（x^′，y^′），
則T_M：[

x y

]→

x′   y′

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

•[

x y

]=

3 2 x+ 1 2 y   - 1 2 x+ 3 2 y

，
即有

x′= 3 2 x+ 1 2 y y′=- 1 2 x+ 3 2 y

，
解得：

x= 3 2 x′-  1 2 y′ y= 1 2 x′+ 3 2 y′

，代入曲線C的方程并化簡(jiǎn)得：
x′²-2

3

x^′y^′-y′²=4．
∴曲線C^′為：x²-2

3

xy-y²=4．
（Ⅱ）因?yàn)榍�線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）（0，-2），
由坐標(biāo)變換公式解得焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，3），（-1，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，以及簡(jiǎn)單曲線曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力．解決問題的關(guān)鍵在于求出旋轉(zhuǎn)矩陣．