Question

已知A（-2，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓F：（x-c）²+y²=9的一個(gè)交點(diǎn)，且圓心F是橢圓的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F的直線交圓與P、Q兩點(diǎn)，連AP、AQ分別交橢圓與M、N點(diǎn)，試問直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，則求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）a=2，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+t，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，由條件得

AM

•

AN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，由此能求出直線MN的方程為x=my-

2

7

，故直線過定點(diǎn)（-

2

7

，0）．

解答： 解：（1）∵A（-2，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓F：（x-c）²+y²=9的一個(gè)交點(diǎn)，
且圓心F是橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，
∴a=2，c=1或c=-5（舍），
∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為；

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+t，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
化簡，得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則y1+y2=-

6mt

3m2+4

，y1y2=

3t2-12

3m2+4

，①
由條件得

AM

•

AN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即(m2+1)y1y2+m(t+2)y1y2+(t+2)2=0，②
把①代入②，整理，得：
7t²+16t+4=0，解得t=-2，（舍）或t=-

2

7

，
∴直線MN的方程為x=my-

2

7

，故直線過定點(diǎn)（-

2

7

，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否過定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．