Question

作斜率為

1

3

的直線l與橢圓C：

x2

36

+

y2

4

=1交于A，B兩點(diǎn)（如圖所示），且P(3

2

，

2

)在直線l的左上方．
（1）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；
（2）若∠APB=60°，求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求出PA，PB的斜率的和為0，進(jìn)而可得，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，由此可得結(jié)論；
（2）確定PA，PB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出|PA|、|PB|，從而可求△PAB的面積．

解答：（1）證明：設(shè)直線l：y=

1

3

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將y=

1

3

x+m代入

x2

36

+

y2

4

=1中，化簡(jiǎn)整理得2x²+6mx+9m²-36=0．
于是有x1+x2=-3m，x1x2=

9m2-36

2

，kPA=

y1- 2

x1-3 2

，kPB=

y2- 2

x2-3 2

． 則

kPA+kPB= y1- 2 x1-3 2 + y2- 2 x2-3 2

= (y1- 2 )(x2-3 2 )+(y2- 2 )(x1-3 2 ) (x1-3 2 )(x2-3 2 )

，
上式中，分子=(

1

3

x1+m-

2

)(x2-3

2

)+(

1

3

x2+m-

2

)(x1-3

2

)=

2

3

x1x2+(m-2

2

)(x1+x2)-6

2

(m-

2

)=

2

3

•

9m2-36

2

+(m-2

2

)(-3m)-6

2

(m-

2

)
=3m2-12-3m2+6

2

m-6

2

m+12=0，
從而，k_PA+k_PB=0．
又P在直線l的左上方，因此，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，所以△PAB的內(nèi)切圓的圓心在直線x=3

2

上．
（2）解：若∠APB=60°時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)論可知kPA=

3

，kPB=-

3

．
直線PA的方程為：y-

2

=

3

(x-3

2

)，代入

x2

36

+

y2

4

=1中，
消去y得14x2+9

6

(1-3

3

)x+18(13-3

3

)=0．
它的兩根分別是x₁和3

2

，所以x1•3

2

=

18(13-3 3 )

14

，即x1=

3 2 (13-3 3 )

14

．所以|PA|=

1+( 3 )2

•|x1-3

2

|=

3 2 (3 3 +1)

7

．
同理可求得|PB|=

3 2 (3 3 -1)

7

．

∴S△PAB= 1 2 •|PA|•|PB|•sin60°

=

1

2

•

3 2 (3 3 +1)

7

•

3 2 (3 3 -1)

7

•

3

2

=

117 3

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．