Question

17．（1）已知a＞0，函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），證明：函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，即可證明結(jié)論；
（2）利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解，先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)，由同增異減的結(jié)論求解．

解答 證明：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，則1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
解得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$（舍）．
令f′（x）＜0，則1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
解得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$．
∵x＞0，∴0＜x＜$\sqrt{a}$．
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上為減函數(shù)；在（$\sqrt{a}$，+∞）上為增函數(shù)，
也稱為f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上為減函數(shù)；在[$\sqrt{a}$，+∞）上為增函數(shù)．
解：（2）令u=x²-4x+3，原函數(shù)可以看作y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$u與u=x²-4x+3的復合函數(shù)．
令u=x²-4x+3＞0．
則x＜1或x＞3．
∴函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）．
又u=x²-4x+3的圖象的對稱軸為x=2，且開口向上，
∴u=x²-4x+3在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)．
而函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$u在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的單調(diào)遞減區(qū)間為（3，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）．

點評 本題主要利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，考查復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)論是同增異減，一定要注意定義域．