Question

已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值；
（3）試比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由，可得，∴函數(shù)f（x）在遞增，
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)
∴[1，+∞）是的子集，
∴
∵a＞0，∴a≥1．
（2）當a=1，由（1）的函數(shù)f（x）在上遞減，在[1，2]上遞增．
則y_min=f（1）=2；
又因為，
∴
∴．
（3）令a=1，
由（1）得（當且僅當t=1時等號成立），
兩邊同除t（t＞0）得，
令t=n²，
可得
由累加法得=
分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)，可得[1，+∞）是單調增區(qū)間的子集，由此可確定正實數(shù)a的取值范圍；
（2）確定函數(shù)在上的單調性，進而可求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值；
（3）令a=1，由（1）得（當且僅當t=1時等號成立），
兩邊同除t（t＞0）得，再令t=n²，進而利用累加法，即可得到結論．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查大小比較，解題的關鍵是正確求出導函數(shù)，合理構建不等式，屬于中檔題．