如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別是、，左、右焦點(diǎn)分別是、，（異于、）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接交直線于、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求此橢圓的離心率；

（Ⅱ）求證:以線段為直徑的圓過點(diǎn).

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)可知，在等式兩邊同時(shí)除以得；（Ⅱ）又由，橢圓經(jīng)過點(diǎn)可知，可得橢圓方程為，設(shè)，利用點(diǎn)斜式求出，將與聯(lián)立，求出，則可求，得到結(jié)論.

試題解析：（1）由題意可知，成等比數(shù)列，所以；

（2）由，橢圓經(jīng)過點(diǎn)可知，橢圓方程為

設(shè)，由題意可知

解得，則

故以線段為直徑的圓過點(diǎn).

考點(diǎn)：1.等比中項(xiàng)的性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.圓的定義.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•西城區(qū)一模）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2，求
S1
S2
的取值范圍．

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如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),

記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓數(shù)學(xué)公式的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2，求數(shù)學(xué)公式的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),

記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍．

 


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