Question

1．社會調查表明，家庭月收入x（單位：千元）與月儲蓄y（單位：千元）具有線性相關關系，隨機抽取了10個家庭，獲得第i個家庭的月收入與月儲蓄數(shù)據(jù)資料，算得$\sum_{i=1}^{10}$x_i=60，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=15，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=180，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=540．
（Ⅰ）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）若某家庭月收入為5千元，預測該家庭的月儲蓄．
參考公式：線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出，樣本中心坐標，利用參考公式求出$\stackrel{∧}{a}$和$\stackrel{∧}$，然后求出線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x-1.5；
（2）通過x=5，利用回歸直線方程，推測該家庭的月儲蓄．

解答 解：（1）由$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×$\sum_{i=1}^{10}$x_i=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×$\sum_{i=1}^{10}$y_i=1.5，
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}-10\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{180-10×6×1.5}{540-10×{6}^{2}}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=1.5-0.5×6=-1.5，
家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x-1.5；
（2）當x=5時，$\stackrel{∧}{y}$=1，
某家庭月收入為5千元，該家庭的月儲蓄1千元．

點評 本題考查線性回歸方程的求解及應用，屬基礎題．