已知a+b+c=abc.求證:
2a
1-a2
+
2b
1-b2
+
2c
1-c2
=
8abc
(1-a2)(1-b2)(1-c2)
分析:欲證原式成立,即證a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc 將左邊全部展開,利用abc=a+b+c,得到(a+b+c)(ab+bc+ac),將這個(gè)式子展開,與后面的項(xiàng)相消,就可以證明等式了.
解答:解:欲證原式成立,
即證a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc
左邊全部展開,有:
左邊=ab2c2-ab2-ac2+a2bc2-ba2-bc2+a2b2c-ca2-cb2+a+b+c
將ab2c2、a2bc2、a2b2c中的共同項(xiàng)abc提出,有:
上式=abc(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,
利用abc=a+b+c,
得到:
上式=(a+b+c)(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,
將這個(gè)式子展開,與后面的項(xiàng)相消,得
上式=4abc,
∴a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc成立,
故原等式成立.
點(diǎn)評:本題考查分析法,分析法,是指“執(zhí)果索因”的思維方法,即從結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,直到找到一個(gè)明顯成立的條件,這個(gè)條件可以是已知條件、公理、定理、定義等.
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負(fù)
負(fù)
.(填“正”或“負(fù)”)

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