Question

已知a+b+c=abc．求證：

2a

1-a2

+

2b

1-b2

+

2c

1-c2

=

8abc

(1-a2)(1-b2)(1-c2)

．

Answer 1

分析：欲證原式成立，即證a（1-b²）（1-c²）+b（1-a²）（1-c²）+c（1-a²）（1-b²）=4abc 將左邊全部展開(kāi)，利用abc=a+b+c，得到（a+b+c）（ab+bc+ac），將這個(gè)式子展開(kāi)，與后面的項(xiàng)相消，就可以證明等式了．

解答：解：欲證原式成立，
即證a（1-b²）（1-c²）+b（1-a²）（1-c²）+c（1-a²）（1-b²）=4abc
左邊全部展開(kāi)，有：
左邊=ab²c²-ab²-ac²+a²bc²-ba²-bc²+a²b²c-ca²-cb²+a+b+c
將ab²c²、a²bc²、a²b²c中的共同項(xiàng)abc提出，有：
上式=abc（ab+bc+ac）-ab²-ac²-ba²-bc²-ca²-cb²+a+b+c，
利用abc=a+b+c，
得到：
上式=（a+b+c）（ab+bc+ac）-ab²-ac²-ba²-bc²-ca²-cb²+a+b+c，
將這個(gè)式子展開(kāi)，與后面的項(xiàng)相消，得
上式=4abc，
∴a（1-b²）（1-c²）+b（1-a²）（1-c²）+c（1-a²）（1-b²）=4abc成立，
故原等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分析法，分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，直到找到一個(gè)明顯成立的條件，這個(gè)條件可以是已知條件、公理、定理、定義等．