Question

16．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，則該三棱錐外接球的表面積為65π．

Answer 1

分析 利用SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，求出S到底面ABC的距離，求出底面三角形的外接圓、內(nèi)切圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的表面積．

解答 解：∵△ABC是邊長為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴△ABC外接圓半徑$\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}$=4，內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{6}×4\sqrt{3}$=2
∵SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，
∴S到底面ABC的距離h=4，
設(shè)球心O到平面ABC的距離為d，
利用勾股定理可得球的半徑為：R²=4²+d²=（4-d）²+2²，∴R=$\frac{\sqrt{65}}{2}$
球的表面積：4πR²=65π．
故答案為：65π．

點評 本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力．