Question

15．已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓方程，將（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設出直線l的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），代入橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積坐標公式，化簡整理，解方程，即可求得k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
將（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：橢圓的右焦點坐標（$\sqrt{3}$，0），
直線l的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
將直線方程代入橢圓方程整理得：（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
由于直線AB過橢圓右焦點，可知△＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-$\sqrt{3}$）（x₂-$\sqrt{3}$）=k²[x₁x₂-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+3]=$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2，
$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=2，解得：k=±$\sqrt{2}$，
∴直線方程y=±$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查橢圓的性質和方程的求法及直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理以及平面向量的數(shù)量積的坐標公式，考查化簡整理和運算能力，屬于中檔題．