Question

如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，
點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F₂作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面積為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于F₁（-c，0），．且OP∥AB，根據(jù)直線的斜率相等得到：k_OP=k_AB解得：b=c．從而，即可求得橢圓的離心率e；
（2）由（1）知橢圓方程可化簡(jiǎn)為x²+2y²=2b²．①易求直線QR的斜率為，故可設(shè)直線QR的方程為： 將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得b值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）∵F₁（-c，0），∴．
∵OP∥AB，∴k_OP=k_AB，∴，
解得：b=c．∴，故．
（2）由（1）知橢圓方程可化簡(jiǎn)為x²+2y²=2b²．
①易求直線QR的斜率為，故可設(shè)直線QR的方程為：．②
由①②消去y得：5x²-8bx+2b²=0．
∴，．
于是△F₁QR的面積S==，∴b=5．因此橢圓的方程為x²+2y²=50，即
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是要求考生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握．