Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且僅有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，從而求出滿足條件的參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax²+e^x，a∈R，
∴f′（x）=2ax+e^x，
顯然a≠0，x₁，x₂是直線y=-$\frac{1}{2a}$與曲線y=g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$兩交點的橫坐標(biāo)，
由g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=0，得x=1，
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	g（x）max=$\frac{1}{e}$	↘

此外注意到：
當(dāng)x＜0時，g（x）＜0；
當(dāng)x∈[0，1]及x∈（1，+∞）時，g（x）的取值范圍分別為[0，$\frac{1}{e}$]和（0，$\frac{1}{e}$）；
于是題設(shè)等價于0＜-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{e}$，
解得a＜-$\frac{e}{2}$，
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．
故答案為：$（{-∞，-\frac{e}{2}}）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性，是綜合性題目．