Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x-a（

1

2

x²+x）（e=2.718..）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值即可．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．對a分類討論：當a≤

1

e

時，當a＞

1

e

時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可．

解答： 解：（I）當a=1時，f（x）=xe^x-（

1

2

x²+x），f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=0．令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-1，此時函數(shù)f（x）單調遞增；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減法．
∴當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=

1

2

-

1

e

；當x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（0）=0．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．
①當a≤

1

e

時，ae^x-1＜0，由x≥-1，可得f′（x）≤0，此時函數(shù)f（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=e-

3

2

a．
②當a＞

1

e

時，由ae^x-1=0，解得x=-lna．
當-1≤x＜-lna時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當-lna＜x≤1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．
∴當x=-lna時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（-lna）=-

1

2

ln2a+(1-

1

a

)lna．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．