Question

1．如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點C在AB的延長線上，BC=1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)∠POB=θ，將面積表示為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值的方法求最值．

解答 解：設(shè)∠POB=θ．在△POC中，由余弦定理得：PC²=OP²+OC²-2OP•OC•cosθ=5-4cosθ，
P（cosθ，sinθ），
所以S=S_△OPC+S_△PCD=$\frac{1}{2}×2×sinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$=sin$θ-\sqrt{3}cosθ$$+\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$，當(dāng)θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，即θ=$\frac{5}{6}$π時，
四邊形OPDC面積的最大值為 2+$\frac{5}{4}\sqrt{3}$．

點評 本題通過引進(jìn)角，利用余弦定理求邊長，從而構(gòu)建函數(shù)，再求函數(shù)的最值．