Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8．令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式以及數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}=7\\{a_3}=8\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}+d=7\\{a_1}+2d=8\end{array}\right.$
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（3n-1）[3（n+1）-1]}=\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+\frac{1}{3}（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）+…+\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{2（3n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．