Question

已知函數f（x）=x²+2（a-2）x+4，當x∈[-3，1]時，f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：首先把二次函數的一般式轉化成頂點式，根據對稱軸方程與固定區(qū)間的關系，分三種情況進行討論①當-3≤2-a≤1時②當1＜2-a時③當2-a＜-3時，然后根據恒成立問題求的結果．

解答： 解：函數f（x）=x²+2（a-2）x+4=[x+（a-2）]²-（a-2）²+4
函數為開口方向向上，對稱軸方程為：x=2-a
①當-3≤2-a≤1時，即1≤a≤5 f(x)min=f(2-a)=-(a-2)2+4=-a²+4a
所以只需-a²+4a＞0恒成立即可，解得：0＜a＜4
實數a的取值范圍：1≤a＜4
②當1＜2-a時，即a＜1
所以只需2a+1＞0恒成立即可，解得：a＞-

1

2

實數a的取值范圍：-

1

2

＜a＜1
③當2-a＜-3時，即a＞5 f（x）_min=f（-3）=25-6a
所以只需25-6a＞0恒成立即可，解得：a＜

25

6

實數a的取值范圍：Φ
綜上所述：實數a的取值范圍：-

1

2

＜a＜4
故答案為：-

1

2

＜a＜4

點評：本題考查的知識點：二次函數一般式與頂點式的轉換，對稱軸不固定區(qū)間固定的討論，對某一區(qū)間內的恒成立問題，一元二次不等式的解法．