Question

已知F（x）=f（x+

1

2

）-1是R上的奇函數(shù)，a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式為（　�。�

A．a(chǎn)_n=n-1

B．a(chǎn)_n=n

C．a(chǎn)_n=n+1

D．a(chǎn)_n=n²

Answer 1

分析：由F（x）=f（x+

1

2

）-1在R上為奇函數(shù)，知f（

1

2

-x）+f（

1

2

+x）=2，令t=

1

2

-x，則

1

2

+x=1-t，得到f（t）+f（1-t）=2．由此能夠求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式．

解答：解：F（x）=f（x+

1

2

）-1在R上為奇函數(shù)
故F（-x）=-F（x），
代入得：f（

1

2

-x）+f（

1

2

+x）=2，（x∈R）
當(dāng)x=0時(shí)，f（

1

2

）=1．
令t=

1

2

-x，則

1

2

+x=1-t，
上式即為：f（t）+f（1-t）=2．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：
a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

1 2 n-1

2

）+f（

1 2 n+1

2

）]+f（

n

2

）
=2×

n

2

+1
=n+1．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：
a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1 2

n

）+f（

n+1 2

n

）]
=2×

n+1

2

=n+1．
綜上所述，a_n=n+1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題首先考查函數(shù)的基本性質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)處理數(shù)列問(wèn)題問(wèn)題，十分巧妙，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解f（t）+f（1-t）=2．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．