Question

如圖，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ） 求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求證：AC∥平面BEF；
（Ⅲ） 求四面體BDEF的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）
又因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）
因為DE∩BD=D…（3分）
由線面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）證明：設AC∩BD=O，取BE中點G，連結FG，OG，
所以OG∥DE，且OG=DE，因為AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）
因為AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）
故可得四邊形AFGO是平行四邊形，所以FG∥AO．…（7分）
因為FG?平面BEF，AO?平面BEF，…（8分）
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）
（Ⅲ）解：因為DE⊥平面ABCD，所以 DE⊥AB
因為正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）
因為AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
所以△DEF的面積為，
所以四面體BDEF的體積==．…（14分）
分析：（Ⅰ） 由題意可得DE⊥AC，AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ） 設AC∩BD=O，取BE中點G，連結FG，OG，可證AFGO是平行四邊形，所以FG∥AO，線面平行的判定定理可得；
（Ⅲ）可得AB⊥平面ADEF，結合已知數(shù)據(jù)，代入體積公式可得答案．
點評：本題考查直線與平面平行和垂直的判定，涉及四面體體積的求解，屬中檔題．