Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，若對任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）由于

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．可得數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)，由于任意n∈N^*，T_n＜

1

2

，對任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，可得m≥

1

2

．

解答： 解：（I）當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時適合上式，∴a_n=2n-1．（n∈N^*）．
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∵任意n∈N^*，T_n＜

1

2

，對任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，
∴m≥

1

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了遞推式的意義、“裂項求和”、恒成立問題的轉化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．