Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）設(shè)E是CC₁上一點，試確定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB₁與A₁B相交于M，由三角形中位線定理，我們易得B₁C∥MD，結(jié)合線面平行的判定定理，易得B₁C∥平面A₁BD；
（2）由于已知的幾何體ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，結(jié)合AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，根據(jù)正方形的幾何特征，我們易得到AB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）由圖可知，當(dāng)點E為CC₁的中點時，平面A₁BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC₁，結(jié)合AC₁⊥平面AB₁D，我們易得到DE⊥平面AB₁D，進而根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論．
解答：解：（1）證明：連接AB₁與A₁B相交于M，

則M為A₁B的中點，連接MD，
又D為AC的中點，
∴B₁C∥MD，
又B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．（4分）
（2）∵AB=BB₁，
∴四邊形ABB₁A₁為正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
又∵AC₁⊥面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．（8分）
（3）當(dāng)點E為CC₁的中點時，
平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分別為AC、CC₁的中點，
∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面AB₁D，
∴DE⊥平面AB₁D，又DE?平面BDE，
∴平面AB₁D⊥平面BDE．（14分）
點評：本題考查的知識瞇是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面間平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義是解答此類問題的根本．