解:(1)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1時,a
1+b
1=a+(1-a)=1,命題成立;
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N
*)時命題成立,即a
k+b
k=1,則當(dāng)n=k+1時,a
k+1+b
k+1=a
kb
k+1+b
k+1=(a
k+1)•b
k+1=(a
k+1)•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23954.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23955.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23956.png)
=1.
∴當(dāng)n=k+1時,命題也成立.
由①、②可知,a
n+b
n=1對n∈N
*恒成立.
(2)∵a
n+1=a
nb
n+1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23957.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23958.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23959.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23960.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23961.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
+1,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23960.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=1.
數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3622.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
+(n-1)×1,從而a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23962.png)
.
分析:(1)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法,驗(yàn)證n=1時命題成立,然后假設(shè)n=k時命題成立,證明n=k+1時命題也成立即可.
(2)利用已知和(1)的結(jié)果,化簡a
n+1=a
nb
n+1推出
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-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
=1.然后說明數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3622.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
,求出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式.
點(diǎn)評:本題是基礎(chǔ)題,考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法,注意n=k+1的證明過程,增加了2k個區(qū)域,這是證明的關(guān)鍵所在,兩個步驟缺一不可.注意(2)的裂項(xiàng)法的應(yīng)用.