如圖,已知橢圓的方程為
,雙曲線
的兩條漸近線為
、
.過橢圓
的右焦點
作直線
,使
,又
與
交于點
,設
與橢圓
的兩個交點由上至下依次為
、
.
(1)若與
的夾角為
,且雙曲線的焦距為
,求橢圓
的方程;
(2)求的最大值.
(1);(2)
.
【解析】
試題分析:(1)先確定雙曲線的漸近線方程,根據(jù)條件兩條漸近線的夾角為,確定
與
的等量關系,再結(jié)合
的值,確定
與
的值,最終確定橢圓
的方程;(2)設點
的坐標為
,并設
得到
,利用向量的坐標運算得到
,
,再由點
在橢圓
上這一條件將點
的坐標代入橢圓方程,通過化簡得到
與離心率
之間的關系式
,結(jié)合基本不等式得到
的最大值.
試題解析:(1)因為雙曲線方程為,
所以雙曲線的漸近線方程為.
因為兩漸近線的夾角為且
,所以
.
所以,所以
.
因為,所以
,
所以,
.
所以橢圓的方程為
;
(2)因為,所以直線
與的方程為
,其中
.
因為直線的方程為
,
聯(lián)立直線與
的方程解得點
.
設,則
.
因為點,設點
,則有
.
解得,
.
因為點在橢圓
上,
所以.
即.
等式兩邊同除以得
,
,
所以,
所以當,即
時,
取得最大值
.
故的最大值為
.
考點:1.雙曲線的漸近線方程;2.橢圓的方程;3.三點共線的轉(zhuǎn)化
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2 |
| ||
2 |
PB |
QB |
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如圖,已知橢圓的方程為
,
是它的下頂點,
是右焦點,
的延長線與橢圓及其右準線分別相交于
兩點,若點
恰好為
中點,則此橢圓的離心率為__________
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