Question

8．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	10
乙班		30
總計(jì)			105

已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人成績是優(yōu)秀的概率為$\frac{2}{7}$，
（1）請(qǐng)完成上面的2 x×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有95%的把握認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”？
（2）若甲班優(yōu)秀學(xué)生中有男生6名，女生4名，現(xiàn)從中隨機(jī)選派3名學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)競賽，記參加競賽的男生人數(shù)為X，求X的分布列與期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）由已知填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意知X的所有可能值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由已知，兩個(gè)班的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為105×$\frac{2}{7}$=30，填寫2×2列聯(lián)表如下；

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	10	45	55
乙班	20	30	50
總計(jì)	30	75	105

計(jì)算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{105{×（10×30-20×45）}^{2}}{30×75×55×50}$=$\frac{336}{55}$≈6.109＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”；
（2）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3；
計(jì)算P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$；
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$；
或X服從超幾何分布，且N=10，M=6，n=3，
所以E（X）=$\frac{nM}{N}$=$\frac{3×6}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．