Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中點．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求異面直線EC和AD所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（1）利用三棱錐的體積計算公式即可得出；
（2）由于BC∥AD，可得∠ECB或其補(bǔ)角為異面直線EC和AD所成的角θ，由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PB，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
高PA=2，BC=AD=2，AB=1，
∴S_△ABC=

1

2

×2×1=1．
故V_P-ABC=

1

3

×SABC×PA=

1

3

×1×2=

2

3

．
（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其補(bǔ)角為異面直線EC和AD所成的角θ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=

1

2

PB=

5

2

，
tanθ=

BE

BC

=

5

4

，
∴異面直線EC和AD所成的角是arctan

5

4

．

點評：本題考查了三棱錐的體積計算公式、異面直線所成的角，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．