Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²+2x-3與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C被直線x-y+a=0截得的弦長為2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）求出曲線y=x²+2x-3與坐標軸的三個交點A、B、D的坐標，從而設出圓心C的坐標，根據(jù)|AC|=|BC|利用兩點間的距離公式列式，算出圓心為C（-1，-1），進而得出半徑r=

5

，可得圓C的方程；
（II）根據(jù)垂徑定理，算出點C到直線x-y+a=0的距離d=

2

，利用點到直線的距離公式建立關于a的等式，解之即可得到實數(shù)a的值．

解答：解：（I）曲線y=x²-2x-3與y軸的交點為A（0，-3），與x軸的交點為B（1，0）、D（-3，0）．
∵線段BD的垂直平分線為x=-1，
∴設圓C的圓心為（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圓心C（-1，-1），
圓C的半徑r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圓C的方程為（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）∵直線x-y+a=0被圓C截得的弦長為2

3

，
∴設點C到直線x-y+a=0的距離為d，
根據(jù)垂徑定理得2

r2-d2

=2

3

，
即

5-d2

=

3

，解得d=

2

（舍負）．
∴點C（-1，-1）到直線x-y+a=0的距離為

|-1+1+a|

2

=

2

，
解得a=±2．

點評：本題給出拋物線與坐標軸的三個交點，求經(jīng)過此三點的圓的方程，并求被圓截得弦長為2

3

的直線方程，著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．