Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

．
（1）確定y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若a＞0，函數(shù)h（x）=xf（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）求導數(shù)，由函數(shù)h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，可得2ax²+x-1=0在（0，2）有單根（不能為重根，即a≠-

1

8

），即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜e，時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即x＞e，時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在（0，e）上遞增，再（e，+∞）上遞減．
（2）∵h（x）=lnx-x-ax²
∴h′（x）=

1

x

-1-2ax=

1-x-2ax2

x

=-

2ax2+x-1

x

∵函數(shù)h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，
∴2ax²+x-1=0在（0，2）有單根（不能為重根，即a≠-

1

8

），
由a=

1-x

2x2

=

1

2

（

1

x

-

1

2

）²-

1

8

，
∵

1

x

＞

1

2

＞0，∴有a＞-

1

8

，
∴a的取值范圍是a＞0．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題