Question

已知f（x）=x³+ax²-x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

3

，1)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x）的圖象過點P（1，1）的切線方程；
（3）對一切的x∈（0，+∞），f'（x）+2≥2g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可知-

1

3

，1是導函數(shù)所對應方程的兩個根，從而可求出a的值；
（2）設切點坐標是M（x₀，y₀）（x₀≠1），然后根據(jù)在該點處的導數(shù)等于兩點的斜率建立等式關系，從而求出x₀的值，即可求出切線方程；
（3）3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，利用導數(shù)研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-1
由題意3x²+2ax-1＞0的解集是(-

1

3

，1)即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+2
（2）設切點坐標是M（x₀，y₀）（x₀≠1）．有

y0-1

x0-1

=3x₀²-2x₀-1
將y₀=x₀³-x₀²-x₀+2代入上式整理得2x03-4x02+2x0=0，即2x0(x0-1)2=0
得x₀=1或x₀=0．
函數(shù)f（x）=x³-x²-x+2的圖象過點P（1，1）的切線方程為x+y-2=0或y=1．
（3）由題意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x²+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′（x）=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究函數(shù)在某點切線方程，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題．