Question

已知cosα是方程5x²-7x-6=0的根，則

sin(-α- 3π 2 )sin( 3π 2 -α) tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α)cot2(π-α)

=

9

25

．

Answer 1

分析：將方程5x²-7x-6=0左邊分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，進(jìn)而確定出cosα的值，然后將所求式子的分子第一項(xiàng)提取-1，利用正弦函數(shù)為奇函數(shù)化簡(jiǎn)后再利用誘導(dǎo)公式sin（

3π

2

+α）=-cosα化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式sin（

3π

2

-α）=cosα化簡(jiǎn)，分母第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式cos（

π

2

-α）=-sinα化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式cos（

π

2

+α）=-sinα化簡(jiǎn)，第三項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間的倒數(shù)關(guān)系變形，整理后再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，最后將cosα的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算即可得到所求式子的值．

解答：解：∵5x²-7x-6=0變形為：（5x+3）（x-2）=0，
∴x₁=-

3

5

，x₂=2，
又cosα為方程5x²-7x-6=0的根，
∴cosα=-

3

5

或cosα=2（舍去），
則

sin(-α- 3π 2 )sin( 3π 2 -α) tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α)cot2(π-α)

=

-sin(α+ 3π 2 )sin( 3π 2 -α)tan2α

cos( π 2 -α)cos( π 2 +α) 1 cos2(π-α)

=

-cos2αtan2αcos2α

-sin2α

=cos²α=（-

3

5

）²=

9

25

．
故答案為：

9

25

點(diǎn)評(píng)：此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．