Question

1．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在一個(gè)區(qū)間A=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱A為f（x）的一個(gè)穩(wěn)定區(qū)間，相應(yīng)的函數(shù)f（x）為“局部穩(wěn)定函數(shù)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：①f（x）=tan$\frac{π}{4}$x；②f（x）=1-x²；③f（x）=e^x-1；④f（x）=ln（x-1），所有“局部穩(wěn)定函數(shù)”的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說(shuō)明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來(lái)說(shuō)明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答 解：①對(duì)于函數(shù)f（x）=tan$\frac{π}{4}$x存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=tan$\frac{π}{4}$x∈[0，1]，
故①是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
②對(duì)于函數(shù)f（x）=1-x²若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-x²∈[0，1]，
故②是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
③對(duì)于f（x）=e^x-1，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a-1=a，且e^b-1=b，即方程e^x-1=x 有兩個(gè)解，
即y=e^x-1和 y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
這與y=e^x-1和 y=x的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相矛盾，
故③不是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
④對(duì)于 f（x）=ln（x-1），若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，
由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)n（a-1）=a，且ln（b-1）=b，即方程ln（x-1）=x 有兩個(gè)解，
即y=ln（x-1）和 y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
這與y=ln（x-1）和 y=x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)相矛盾，
故④不是“局部穩(wěn)定函數(shù)”，
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義局部穩(wěn)定函數(shù)為載體，考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題