分析 (1)通過在Sn2=3n2an+Sn-12中令n=2、3,結合a1=a計算可知a2=12-2a、a3=3+2a,利用a1+a3=2a2計算可知a=3,驗證其是否成立即可;
(2)通過(1)可知cn=3n-1+15,進而利用分組求和法計算可知Tn=1−3n1−3+15n,問題轉化為解不等式4(1−3n1−3+15n)>3n(n−1)2,計算即得結論.
解答 解:(1)∵a1=a,當n≥2時Sn2=3n2an+Sn-12,
∴(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3-(a+a2)2,
∵an≠0,
∴a2=12-2a,a3=3+2a,
∵a1+a3=2a2,
∴2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3,
經檢驗,當a=3時an=3n,Sn=3n(n−1)2、Sn-1=3n(n+1)2滿足Sn2=3n2an+Sn-12;
(2)由(1)可知cn=3n-1+15,
∴Tn=1−3n1−3+15n,
∵4Tn>Sn,
∴4(1−3n1−3+15n)>3n(n−1)2,
整理得:2•3n+60n-2>165,即2•3n+60n>167,
∵f(n)=2•3n+60n為增函數,且f(2)<167、f(3)>167,
∴滿足條件的n的最小值為3.
點評 本題考查數列的通項及前n項和,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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