Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9a}{2}{x^2}$+6x．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對?x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{9a}{2}＜x+\frac{6}{x}$在區(qū)間[1，4]上恒成立，令$g（x）=x+\frac{6}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x，
f′（x）=3（x-1）（x-2），
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（Ⅱ）$f（x）={x^3}-\frac{9a}{2}{x^2}+6x＞0$
即$\frac{9a}{2}＜x+\frac{6}{x}$在區(qū)間[1，4]上恒成立，
令$g（x）=x+\frac{6}{x}$，
故當(dāng)$x∈（1，\sqrt{6}）$時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)$x∈（\sqrt{6}，+∞）$時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
$g{（x）_{min}}=g（\sqrt{6}）=2\sqrt{6}$時(shí)，
∴$\frac{9a}{2}≤2\sqrt{6}$，即$a≤\frac{{4\sqrt{6}}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．