Question

求證：cos³θ+cos³（

2π

3

+θ）+cos³（

2π

3

-θ）=

3

4

cos3θ．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角和差的余弦公式可得：cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)=-cosθ．cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)=

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ．左邊利用立方和公式展開、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、3倍角公式即可得出．

解答： 證明：cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)=2cos

2π

3

cosθ=-cosθ．
cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)=(-

1

2

cosθ)2-(

3

2

sinθ)2=

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ．
∴左邊=cos³θ+[cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)][(cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ))2-3cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)]
=cos³θ-cosθ[cos2θ-3(

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ)]
=cos³θ-cosθ(

1

4

+2sin2θ)
=cos³θ-

1

4

cosθ-2cosθ（1-cos²θ）
=3cos3θ-

9

4

cosθ
=

3

4

(4cos2θ-3cosθ)
=

3

4

cos3θ=右邊．
∴左邊=右邊．

點評：本題考查了兩角和差的余弦公式、立方和公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、3倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．