Question

已知函數(shù)．
（I）若f（x）在處取和極值，
①求a、b的值；
②存在，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）當(dāng)b=a時，若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

解：（Ⅰ）①∵，定義域為（0，+∞）
∴
∵f（x）在處取得極值，
∴
即，所以所求a，b值均為
②在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，則只需c≥[f（x）]_min
由
∴當(dāng)時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈[1，2]時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在處有極小值
而
又，
因，
∴，
∴，
故 ．
（Ⅱ）當(dāng) a=b 時，
①當(dāng)a=0時，f（x）=lnx，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＜0時，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，從而得，此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上可得，
分析：（Ⅰ）①確定函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在處取得極值，可得，從而可建立方程組，即可求出a，b值；
②在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，則只需c≥[f（x）]_min，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值，即可求解；
（Ⅱ）當(dāng) a=b 時，，分類討論：①當(dāng)a=0時，f（x）=lnx；②當(dāng)a＞0時，f'（x）＞0；③當(dāng)a＜0時，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，從而可得結(jié)論
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．