Question

2．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，直線AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（1）求證：AD⊥BF；
（2）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（3）若$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FD}$，求二面角D-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AF⊥AD，AD⊥AB，從而AD⊥平面ABEF，由此能證明AD⊥BF．
（2）以A為原點，AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-AP-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，
又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF，
又BF?平面ABEF，∴AD⊥BF．
（2）解：∵直線AF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，
∴以A為原點，AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，1），P（0，1，$\frac{1}{2}$），C（1，2，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}，0，1$），$\overrightarrow{CP}$=（-1，-1，$\frac{1}{2}$），
設(shè)異面直線BE與CP所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
（3）解：∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一個法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，0，0）$．
由$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FD}$知P為FD的三等分點，且此時$P（0，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．
在平面APC中，$\overrightarrow{AP}=（0，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（1，2，0）$．
∴平面APC的一個法向量$\overrightarrow{n_2}=（-2，1，-1）$．…（10分）
∴$|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又∵二面角D-AP-C的大小為銳角，∴該二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了線面垂直、線線垂直等位置關(guān)系及線線角、二面角的度量，突出考查邏輯推理能力及利用坐標系解決空間角問題，屬中檔題．