Question

函數(shù)y=x2(1-2x)，(0＜x＜

1

2

)取得最大值時(shí)，對應(yīng)的自變量x的值是

1

3

．

Answer 1

分析：由y=x²（1-2x）=x²-2x³，知y′=2x-6x²，由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，由0＜x＜

1

2

，知x=

1

3

，列表得x=

1

3

時(shí)，函數(shù)取極大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．由此能求出函數(shù)y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值時(shí)，對應(yīng)的自變量x的值．

解答：解：∵y=x²（1-2x）=x²-2x³，
∴y′=2x-6x²，
由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，
∵0＜x＜

1

2

，
∴x=

1

3

，
列表，得

x	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ， 1 2 ）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴x=

1

3

時(shí)，函數(shù)取極大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．
∵函數(shù)y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)只有唯一的一個極大值，
∴結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，知函數(shù)y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值時(shí)，
對應(yīng)的自變量x的值為

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．