Question

（2012•安徽模擬）如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F(xiàn)為CD中點．
（1）求證：EF⊥平面BCD；
（2）求多面體ABCDE的體積；
（3）求平面ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC中點G，連FG，AG．根據(jù)AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，從而BD⊥AG．進而可證AG⊥平面BCD．又可證四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（2）設AB中點為H，則根據(jù)AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．從而可求四棱錐C-ABDE的體積．
（3）利用坐標表示點與向量，確定設平面CEF的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）取BC中點G點，連接AG，F(xiàn)G，如圖1
因為AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG?面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中點，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因為F是CD的中點且BD=2，所以FG∥BD且FG=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD
（2）設AB中點為H，則由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=

3

2

，如圖2
又BD∥AE，所以BD與AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C-ABDE的高．
故四棱錐C-ABDE的體積為V_C-ABDE=

1

3

S_ABDE•CH=

1

3

×

1+2

2

×1×

3

2

=

3

4

．…（8分）
（3）以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標系
則C（

3

2

，0，0），E（0，-

1

2

，1），F(xiàn)（

3

4

，

1

4

，1），∴

CE

=(-

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

=(-

3

4

，

1

4

，1)
設平面CEF的法向量為

n

=(x，y，z)，由

CE

•

n

=-

3

2

x-

1

2

y+z=0，

CF

•

n

=-

3

4

x+

1

4

y+z=0，得

n

=(

3

，-1，1)
平面ABC的法向量為

n′

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

n′

＞=

n • n′

| n || n′ |

=

5

5

∴平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值

5

5

．

點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查幾何體的體積，考查面面角，關鍵是利用向量的方法解決面面角，是一道綜合題．