Question

（2013•杭州一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=

2

2an-1

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

4an

n+1

，數(shù)列{C_nC_n+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

CmCm+1

對(duì)于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用遞推公式即可得出b_n+1-b_n為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到b_n，進(jìn)而得到a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到T_n，要使得T_n＜

1

CmCm+1

對(duì)于n∈N^*恒成立，只要3≤

1

cmcm+1

，即

m(m+1)

4

≥3，解出即可．

解答：（Ⅰ）證明：∵b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2，
∴數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，
又b1=

2

2a1-1

=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴2n=

2

2an-1

，解得an=

n+1

2n

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得cn=

4× n+1 2n

n+1

=

2

n

，
∴c_nc_n+2=

2

n

×

2

n+2

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴數(shù)列{C_nC_n+2}的前n項(xiàng)和為Tn=2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=2[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]＜3．
要使得T_n＜

1

CmCm+1

對(duì)于n∈N^*恒成立，只要3≤

1

cmcm+1

，即

m(m+1)

4

≥3，
解得m≥3或m≤-4，而m＞0，故最小值為3．

點(diǎn)評(píng)：正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵．