Question

（2012•大連二模）已知數(shù)列{a_n）滿足a₁=0，對(duì)任意k∈N^*，有a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公差為k的等差數(shù)列，數(shù)列bn=

(2n+1)2

a2n+1

，則{bn}的前n項(xiàng)和S_n=

4n+

n

n+1

．

Answer 1

分析：依題意，可求得a₂，a₃，…，a₉，…，從而利用累加法可求得a_2n+1=n²+n，代入b_n=

(2n+1)2

a2n+1

，用分組求和與裂項(xiàng)法求和即可求得答案．

解答：解：當(dāng)k=1時(shí)，a₁，a₂，a₃成公差為1的等差數(shù)列，由于
a₁=0，故a₂=1，a₃=2；
同理可得當(dāng)k=2，3，4時(shí)，可以求得a₄=4，a₅=6，a₆=9，a₇=12，a₈=16，a₉=20；
∴a₃-a₁=2，a₅-a₃=4，a₇-a₅=6，…
∴a_2n+1-a_2n-1=2n，
∴將上述n個(gè)等式相加得：a_2n+1-a₁=

(2+2n)n

2

=n²+n，
∴a_2n+1=n²+n，
∴b_n=

(2n+1)2

a2n+1

=

(2n+1)2

n2+n

=

4(n2+n)+1

n2+n

=4+

1

n2+n

=4+（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=4n+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=4n+（1-

1

n+1

）
=4n+

n

n+1

．
故答案為：4n+

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得a_2n+1=n²+n是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查裂項(xiàng)法求和與分組求和，屬于難題．