Question

15．設向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，sinx）$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx）$．
（1）若$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$且$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求x的值；
（2）設函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的模以及角的范圍，即可求出．
（2）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡f（x）解析式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個叫角的正弦函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出x的范圍，即為函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，sinx）$，
∴$|\overrightarrow a|=2\sqrt{{{sin}^2}x}$，
∵$\overrightarrow$=（cosx，sinx），
∴$|\overrightarrow b|=1$
由$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$得，${sin^2}x=\frac{1}{4}$，
又$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$sinx=\frac{1}{2}$，
∴$x=\frac{π}{6}$．
（2）∵$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈Z$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．