Question

給出以下三個(gè)命題：
①已知P（m，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

3

2

，則此橢圓的離心率e=

4

5

；
②過(guò)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作斜率為

3

的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若

AF

=4

FB

，則該雙曲線的離心率e=

6

5

；
③已知F₁（-2，0）、F₂（2，0），P是直線x=-1上一動(dòng)點(diǎn)，若以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線的離心率為e，則e的取值范圍是[2，+∞）．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、3個(gè)
• B、2個(gè)
• C、1個(gè)
• D、0個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：閱讀型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①由橢圓的定義和離心率公式，結(jié)合等積方法，即可求出；
②運(yùn)用雙曲線的第二定義，結(jié)合直角三角形的30°所對(duì)邊的性質(zhì)，及離心率公式，即可得到；
③P在x軸上時(shí)，雙曲線上點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離最小，得到a≤1，由離心率公式即可得到e的范圍．

解答： 解：①∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

3

2

，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴利用三角形的面積計(jì)算公式可得：

1

2

（2a+2c）×

3

2

=

1

2

×2c×4，
3a=5c，e=

c

a

=

3

5

，故①錯(cuò)誤；
②設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為l：x=

a2

c

，A到直線l的距離為d₁，B到直線l的距離為d₂，由雙曲線的第二定義得到：
e=

AF

d1

=

BF

d2

=

AF-BF

d1-d2

，由

AF

=4

FB

，設(shè)BF=t，則AF=4t，由直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得d₁-d₂=

5t

2

，則e=

3t

5t 2

=

6

5

．故②正確；
③P在x軸上時(shí)，雙曲線上點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離最小，∴c-a≥1，∴2-a≥1，
∴a≤1，e=

c

a

=

2

a

又a≤1，∴e≥2，故③正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)，特別是離心率的取值，考查運(yùn)算能力和判斷能力，屬于中檔題．