Question

已知a＞0,函數f(x)=ax-bx².?

(1)當b＞0時,若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2；

(2)當b＞1時,證明對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2；?

(3)當0＜b≤1時,討論:對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件.?

Answer 1

(1)證明:依題意知,對任意x∈R,都有f(x)≤1.

∵f(x)=-b(x-)²+,

∴f()=≤1.

∵a＞0,b＞0,∴a≤2b.?

(2)證明:必要性:對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≥-1,?

∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.?

對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,?

∵b＞1,可以推出f()≤1,

即a·-1≤1,

∴a≤2.∴b-1≤a≤2.?

充分性:∵b＞1,a≥b-1,對任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,即ax-bx²≥-1.

∵b＞1,a≤2.對任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≤2bx-bx²≤1,即ax-bx²≤1.

∴-1≤f(x)≤1.?

綜上,當b＞1時,對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.

(3)解:∵a＞0,0＜b≤1時,對任意x∈［0,1］,有f(x)=ax-bx²≥-b≥-1,即f(x)≥-1.

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤1+b.

a≤1+bf(x)≤(1+b)x-bx²≤1,即f(x)≤1.

∴當a＞0,0＜b≤1時,對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是a≤1+b.?

溫馨提示:本題主要考查二次函數、不等式、充要條件的綜合應用,考查分類討論思想和邏輯推理能力以及思維能力.